\chapter{弱相互作用中宇称守恒问题的理论推导}
\author{杨振宁 \quad 李政道}
\date{1956年10月}

\section{β衰变相互作用的一般形式}
原始论文式(1)给出β衰变哈密顿量：
\begin{equation}
	H = G \left[ \bar{p}(x)\gamma_\lambda n(x) \bar{e}(x)\gamma_\lambda \nu(x) + \text{费米共轭项} \right]
\end{equation}
考虑更一般的相互作用形式（对应论文式(2)）：
\begin{equation}
	H = \sum_{i=1}^5 \left[ \bar{p}(x) O_i n(x) \bar{e}(x) O_i \left( C_i + C'_i \gamma_5 \right) \nu(x) \right] + \text{费米共轭}
\end{equation}
其中$O_i$取五种Dirac协变形式：
\begin{align*}
	&O_S = 1 & &\text{(标量)} \\
	&O_V = \gamma_\lambda & &\text{(矢量)} \\
	&O_T = \sigma_{\lambda\mu} = \frac{1}{2i}(\gamma_\lambda \gamma_\mu - \gamma_\mu \gamma_\lambda) & &\text{(张量)} \\
	&O_A = \gamma_\lambda \gamma_5 & &\text{(轴矢量)} \\
	&O_P = \gamma_5 & &\text{(赝标量)}
\end{align*}

\section{宇称变换性质}
定义宇称算符$\mathcal{P}$作用（论文式(3)）：
\begin{equation}
	\mathcal{P} \psi(\mathbf{x},t) \mathcal{P}^{-1} = \gamma_4 \psi(-\mathbf{x},t)
\end{equation}
各算符在$\mathcal{P}$变换下的性质：
\begin{align}
	\mathcal{P} \bar{p} O_i n \mathcal{P}^{-1} &= \epsilon_i \bar{p}(-\mathbf{x},t) O_i n(-\mathbf{x},t) \\
	\epsilon_S = \epsilon_V = +1, \quad &\epsilon_T = \epsilon_A = \epsilon_P = -1
\end{align}

\section{宇称守恒的限制条件}
若要求哈密顿量在$\mathcal{P}$下不变，则必须满足（论文式(5)）：
\begin{equation}
	C'_i = \epsilon_i C_i
\end{equation}
这意味着：
\begin{itemize}
	\item 对于$S,V$型耦合：$C'_i = +C_i$
	\item 对于$T,A,P$型耦合：$C'_i = -C_i$
\end{itemize}

\section{宇称不守恒的一般情况}
当不强制要求(6)式成立时，哈密顿量可写为（论文式(7)）：
\begin{equation}
	H = \sum_{i=1}^5 \left[ \bar{p} O_i n \bar{e} O_i (C_i + C'_i \gamma_5)\nu \right] + \text{h.c.}
\end{equation}
这等价于引入左右手投影算符：
\begin{equation}
	H = \sum_{i=1}^5 \left[ \bar{p} O_i n \bar{e} O_i \left( \frac{C_i + C'_i}{2}(1 + \gamma_5) + \frac{C_i - C'_i}{2}(1 - \gamma_5) \right)\nu \right]
\end{equation}

\section{中子衰变角分布（论文式(8))}
计算中子极化$\sigma_n$与电子动量$\mathbf{p}_e$的角关联：
\begin{equation}
	W(\theta) d\Omega = 1 + \alpha \frac{\mathbf{\sigma}_n \cdot \mathbf{p}_e}{E_e} 
\end{equation}
其中系数$\alpha$由耦合常数决定：
\begin{equation}
	\alpha = \frac{2 \mathrm{Re}(C_S C_T^* + C'_S C^{\prime*}_T) - 2 \mathrm{Re}(C_V C_A^* + C'_V C^{\prime*}_A)}{|C_S|^2 + |C'_S|^2 + |C_V|^2 + |C'_V|^2 + 3(|C_T|^2 + |C'_T|^2 + |C_A|^2 + |C'_A|^2)}
\end{equation}

\section{宇称不守恒的实验验证}
若存在$C_i \neq \epsilon_i C'_i$，则会出现赝标量观测量（论文式(9)）：
\begin{equation}
	\braket{\mathbf{\sigma}_n \cdot \mathbf{p}_e} \neq 0
\end{equation}
这是宇称不守恒的确凿证据。


\section{Co$^{60}$衰变的宇称破坏效应（论文式(10)-(12))}
考虑极化核Co$^{60}$的$\beta$衰变矩阵元：
\begin{equation}
	\langle e^\pm \nu | H | \text{Co}^{60} \rangle = \frac{G}{\sqrt{2}} \sum_{i=S,V,T,A,P} \langle N^* | J_i | \text{Co}^{60} \rangle \cdot \bar{u}_e O_i (C_i + C'_i \gamma_5) v_\nu
\end{equation}
其中$J_i$为核子流算符。对于允许跃迁($\Delta J=1$, no parity change)，主要贡献来自：
\begin{equation}
	\langle N^* | J_A | \text{Co}^{60} \rangle = \sqrt{2} \langle \sigma \rangle \xi_A
\end{equation}
$\xi_A$为核矩阵元，电子-中微子部分给出角分布：
\begin{equation}
	W(\theta) = 1 + \frac{v}{c} \frac{|C_A|^2 - |C'_A|^2}{|C_A|^2 + |C'_A|^2} \langle \sigma \rangle \cdot \hat{p}_e
\end{equation}
若宇称守恒($|C_A|=|C'_A|$)，则$\theta$依赖项消失。

\section{$\tau$-$\theta$难题的定量分析}
对于$\tau^+ \to \pi^+ \pi^0$和$\theta^+ \to \pi^+ \pi^+ \pi^-$衰变，若假设宇称守恒：

\begin{align}
	&\tau^+ \text{态：} & J^P &= 0^- \\
	&\theta^+ \text{态：} & J^P &= 0^+
\end{align}

通过$\pi$介子空间反演分析（论文式(15)）：
\begin{equation}
	\mathcal{P} | \pi_1 \pi_2 \rangle = (-1)^l | \pi_1 \pi_2 \rangle
\end{equation}
对于$\tau$衰变($2\pi$体系)：
\begin{equation}
	\eta_\tau = (-1)^l \eta_1 \eta_2 = -1 \quad (\text{要求 } l=1,3,\ldots)
\end{equation}
与$\theta$衰变($3\pi$体系)矛盾：
\begin{equation}
	\eta_\theta = (-1)^{l_{12}} (-1)^{l_3} \eta_1 \eta_2 \eta_3 = +1
\end{equation}

\section{实验验证方案（论文Section 4）}
建议测量以下赝标量关联：

1. $\beta$衰变中的三重关联（论文式(16)）：
\begin{equation}
	\langle \mathbf{J} \cdot (\mathbf{p}_e \times \mathbf{p}_\nu) \rangle \propto \text{Im}(C_S C_V^* + C'_S C^{\prime*}_V)
\end{equation}

2. 超子衰变的不对称性（论文式(17)）：
\begin{equation}
	W(\theta_\Lambda) = 1 + \alpha_\Lambda \langle \mathbf{J}_\Lambda \cdot \hat{\mathbf{p}}_p \rangle
\end{equation}

3. $\mu$衰变的电子角分布（论文式(18)）：
\begin{equation}
	W(\theta_\mu) = 1 + \frac{1}{3} \cos \theta_\mu \left( \frac{|C_V|^2 - |C'_V|^2}{|C_V|^2 + |C'_V|^2} \right)
\end{equation}

\section{结论性判据}
定义宇称破坏参数（论文式(19)）：
\begin{equation}
	\mathcal{P} \text{-violation} \Leftrightarrow \exists i \text{ 使得 } \left| \frac{C'_i}{C_i} \right| \neq 1
\end{equation}
实验观测要求测量以下类型的量：
\begin{equation}
	\frac{W(\theta) - W(\pi - \theta)}{W(\theta) + W(\pi - \theta)} \neq 0
\end{equation}
